Równania liniowe

Równania liniowe to jeden z najbardziej fundamentalnych i wszechstronnych tematów w matematyce. Spotykamy je na każdym kroku - od prostych obliczeń w życiu codziennym, przez zagadnienia fizyki i inne zaawansowane modele ekonomiczne. Dlatego w poniższym tekście skupimy się na tym i wyjaśnimy równania liniowe to najprościej jak można.

Czym jest równanie liniowe?

Przede wszystkim zacznijmy od wytłumaczenia tego, czym jest równanie, zanim przejdziemy dalej. Równanie to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości. Każde równanie ma lewą i prawą stronę.

Przykład:

Rozwiązaniem takiego równania to liczba $x$ , która po podstawieniu w miejsce niewiadomej doprowadzi do równości lewej względem prawej strony.

Równanie liniowe z jedną niewiadomą to równanie, które da się przekształcić do postaci:

$$ax + b = 0$$

gdzie:

Jeśli $a \ne 0$, to wtedy rozwiązaniem będzie liczba, której $x = \frac{-b}{a}$.

Jak rozwiązać równanie liniowe?

Rozwiązanie równanie liniowego polega na odpowiednim przekształceniu go do formy równań równoważnych. Musi to zostać osiągnięte w taki sposób, że po jednej stronie zostanie tylko niewiadoma x, a po drugiej stronie będą same liczby.

Do takiego rezultatu można doprowadzić za pomocą:

• dodawania lub odejmowania takiej samej liczby od obu stron równania
• mnożenia lub dzielenia każdej ze stron przez identyczną liczbę

Przykładowe zadanie

Zadanie 1

Rozwiąż równanie $4x + 2x - 3 = 2x + 10$

Rozwiązanie:

Na początku należy uprościć lewą i prawą stronę równania. W tym przypadku zmiany będą tylko po lewej stronie.

$$6x - 3 = 2x + 10$$

Następnie należy dążyć do przeniesienia $x$ na jedną ze stron, a liczb na przeciwną stronę. Zaczniemy od przeniesienia $x$ na lewą stronę przez odjęcie $2x$ od dwóch stron.

$$6x - 3 - 2x = 10$$ $$4x - 3 = 10$$

Teraz do obu stron równania dodamy $3$ w celu przeniesienia liczb na prawą stronę.

$$4x = 13$$

Na koniec dzielimy całe wyrażenie po obu stronach przez $4$, aby $x$ pozostał bez dodatkowych współczynników.

$$x = \frac{13}{4}$$

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest $\frac{13}{4}$