Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo warunkowe to pojęcie w teorii prawdopodobieństwa, dzięki któremu możemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia pod warunkiem, że zaszło inne zdarzenie. Oznaczamy je jako $P(A | B)$. Czytamy to jako “prawdopodobieństwo zdarzenia $A$, pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$”.

Definicja matematyczna

Prawdopodobieństwo warunkowe $P(A | B)$ definiuje się jako:

$$P(A |B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \text{dla } P(B) > 0$$

gdzie:

$P(A \cap B)$ - prawdopodobieństwo, że zajdzie zarówno zdarzenie $A$ i $B$

$P(B)$ - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $B$

Prawdopodobieństwo warunkowe - zadania

Zadanie 1

Załóżmy, że rzucamy sześcienną kostką. Zdarzenie $A$ to wyrzucenie liczby parzystej $(2,4,6)$ a zdarzenie $B$ to wyrzucenie liczby większej niż $3$ $(4,5,6)$.

Chcemy obliczyć $P(A | B)$, czyli prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej, pod warunkiem że wyrzucona liczba jest większa niż 3.

Właściwości prawdopodobieństwa warunkowego

Zakres wartości:

$$0 \leq P(A | B) \leq 1$$

Jeśli zdarzenia są niezależne to:

$$P(A | B) = P(A)$$

Gdy mamy taka sytuację to w skrócie oznacza to, że wiedza o zajściu zdarzenia $B$ nie zmienia prawdopodobieństwa $A$.

Mnożenie prawdopodobieństw:

Prawdopodobieństwo zajścia obu zdarzeń A i B można wyrazić jako:

$$P(A n B) = P(A | B) * P(B)$$