Schemat Bernoulliego

Schemat Bernoulliego to model matematyczny za pomocą, którego opisuje się powtarzalne doświadczenia losowe. Takie z tych doświadczeń ma jedynie dwa możliwe wyniki:

• sukces (oznaczany jako 1),
• porażka (oznaczana jako 0).

Każde doświadczenie w schemacie bernoulliego ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu (p) oraz porażki (q = 1 -p).

Idealnym przykładem z życia jest rzut monetą, gdzie sukcesem może być wyrzucenie orła, a porażką wyrzucenie reszki.

Założenia schematu Bernoulliego

Schemat Bernoulliego opiera się na kilku istotnych założeniach:

1. Dwa możliwe wyniki - każde z doświadczeń musi mieć jedynie dwa potencjalne rezultaty jakimi są: sukces i porażka.
2. tałe prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo odpowiednich wyników jest identyczne dla każdej próby.
3. Niezależność prób - wynik danego doświadczenia nie wpływa na wyniki innych doświadczeń.

Wzór na prawdopodobieństwo w schemacie Bernoulliego

$$P_n(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

gdzie:

• $P_n(k)$ - prawdopodobieństwo uzyskania $k$ sukcesów w $n$ próbach,
• $\binom{n}{k}$ - współczynnik dwumianowy, czyli liczba kombinacji, w których można wybrać $k$ sukcesów z $n$ prób:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

• $p$ - prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie,
• $1 -p$ - prawdopodobieństwo porażki,
• $n$ - liczba prób,
• $k$ - liczba sukcesów.

Zastosowanie schematu Bernoulliego w praktyce

Zadanie: Rzut monetą

Założmy, że rzucamy monetą 5 razy ($n = 5$), a sukcesem jest wyrzucenie orła ($p = 0,5$). Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że wyrzucimy dokładnie 3 orły ($k = 3$).

Korzystamy ze wzoru:

$$P_5(3) = \binom{5}{3} 0,5^3 (1-0,5)^{5-3} = \binom{5}{3} 0,5^3 (1-0,5)^{2}$$

Najpierw obliczamy współczynnik dwumianowy:

$$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$

Następnie podstawiamy do wzoru:

$$P_5(3) = 10 \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^{2} = 10 \cdot 0,125 \cdot 0,25 = 0,3125$$

Prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 3 orłów wynosi 0,3125, czyli 31,25%.

Podsumowanie

Schemat Bernoulliego to prosty jednakże super użyteczny model probabilistyczny pozwalający analizować powtarzalne doświadczenia losowe z dwoma możliwymi wynikami.