Własności rachunku prawdopodobieństwa

Spis treści:

Podstawowe własności

Prawdopodobieństwo $P$ , które jest określone na zbiorze zdarzeń elementarnych omega spełnia warunki takie jak:

0 \leq P(A) \leq 1 \text{ dla dowolnego } A \subset \Omega,

P(\emptyset) = 0 \text{ i } P(\Omega) = 1,

P(A \cup B) = P(A) + P(B) \text{ dla dowolnych zdarzeń rozłącznych } A, B \subset \Omega.

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

Jeśli $A$ jest zdarzeniem w przestrzeni zdarzeń omega, to zdarzenie przeciwne do $A$ , oznaczane jak $A'$ , składa się ze wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie należą do $A$ .

Formalnie:

A' = \frac{\Omega}{A}

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego $A'$ obliczamy następująco:

P(A') = 1 - P(A)

gdzie $P(A)$ to prawdopodobieństwo zdarzenia $A$

Zastosowanie w praktyce

Załóżmy, że rzucasz monetą 2 razy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że co najmniej raz wypadnie reszka.

Rozwiązanie:

Na poczatku trzeba policzyć ilość wszystkich możliwych wyników:

|\Omega| = 2 \cdot 2 = 4

Niech A opisuje zdarzenie dotyczące wyrzucenia reszki przynajmniej raz w dwóch rzutach.

Rozpatrzmy zdarzenie $A'$ przeciwne do zdarzenia A.

Takim zdarzeniem jest wyrzucenie 2 orłów:

$A'$ = {(O,O)}

Wychodzi, że $|A'|$ = 1. Oznacza to, że

P(A') = \frac{|A'|}{|\Omega|} = \frac{1}{4}

W związku z tym, szukane prawdopodobieństwo to:

P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Jeśli A i B są zdarzeniami w przestrzeni zdarzeń omega, to suma zdarzeń A u B (czyli A lub B) jest zdarzeniem, które zachodzi, gdy zajdzie zdarzenie A, zdarzenie B lub oba jednocześnie.

Takie prawdopodobieństwo można obliczając korzystając z poniższego wzoru:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń

Prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń dotyczy sytuacji, w której zamierzamy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zajdzie jedno zdarzenie, ale bez zdarzeń wspólnych z innym zdarzeniem. W tym celu, jeśli prawdopodobieństwo P jest określone na zbiorze omega to dla dowolnych A i B e omega stosujemy wzór:

P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)