Reszta z dzielenia wielomianu

Gdy dzielimy wielomian $W(x)$ przez jakiś dwumian $x-a$, to dostajemy wynik, który składa się z wielomianu $p(x)$ oraz reszty $r$:

$$W(x) = P(x) * (x-a) + r$$

W momencie, gdy $r$ jest resztą z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x - a$, to wtedy $W(a) = r$.

Zadania - obliczanie reszty z dzielenia

Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ przez dwumian $x - 3$.

Załóżmy, że $r$ to szukana reszta.

Zgodnie z twierdzeniem o reszcie, wielomian $W(x)$ możemy zapisać w postaci:

$$W(x) = P(x)(x - 3) + r$$

W naszym przypadku $a = 3$, więc:

$$W(x) = p(x)(x - 3) + r$$

Dla $x = 3$ mamy:

$$\begin{gather*} W(3) = P(3) * (3 - 3) + r = \\ = P(3) * 0 + r = r \end{gather*}$$

Zatem szukana reszta to wartość wielomianu $W(x)$ dla $x = 3$

$$\begin{gather*} r = w(3) = \\ = 4 * 3^3 - 3 * 3^2 + 2 * 3 - 1 = 86 \end{gather*}$$