Równania Wielomianowe: Jak znaleźć wszystkie rozwiązania?

Rozwiązywanie równań wielomianowych to istotna umiejętność, która jest zazwyczaj testowana w szkole testowana na sprawdzianach, ale także później na maturze. Dlatego dobrze trafiłeś, jeśli potrzebujesz się dowiedzieć jak rozwiązać takie równanie.

Czym jest równanie wielomianowe?

Równanie wielomianowe to po prostu równanie, które wygląda następująco:

$$W(x) = 0$$

gdzie W(X) to dowolny wielomian.

Rozwiązując wspomniane równanie, naszym celem jest znalezienie wszystkich liczb x spełniających równanie. Takie liczby nazywamy pierwiastkami wielomianu lub jego miejscami zerowymi.

Jak rozwiązać równanie wielomianowe?

1. Uporządkuj równanie

Na początku należy przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, tak aby druga strona wynosiła zero.

2. Rozłóż wielomian $W(x)$ na czynniki

Mając wielomian po jednej ze stron, należy go rozłożyć na czynniki tak, aby były tam tylko iloczyny czynników liniowych lub nierozkładalne czynniki kwadratowe.

3. Przyrównaj każdy czynnik do zero

Po uzyskaniu postaci iloczynowej należy przyrównać każdy z czynników do zera, tworząc kilka prostych równań. W momencie, gdy dowolny nawias będzie równy 0, to cały iloczyn będzie równy zero, co w rezultacie rozwiąże równanie.

4. Rozwiąż kilka prostych równań i podaj odpowiedź

Na tym etapie trzeba obliczyć każde z równań, które powstały w kroku 3. Po ich rozwiązaniu będą znane rozwiązania naszego głównego równania wielomianowego.

Rozwiązanie równań wielomianowych w praktyce

Zadanie 1

Rozwiąż równanie wielomianowe $W(x) = x^4 - x^2$.

Rozwiązanie:

$$x^4 - x^2 = 0$$ $$x^2 (x^2 - 1) = 0$$ $$x^2 (x - 1)(x + 1) = 0$$ $$x^2 = 0 \lor x - 1 = 0 \lor x + 1 = 0$$ $$x = 0 \lor x = 1 \lor x = -1$$

Wychodzi, że wielomian ma trzy miejsca zerowe: $x = -1$, $x = 0$ i $x = 1$