Schemat Hornera. Najszybszy sposób na dzielenie wielomianów.

Dzielenie wielomianów tradycyjną metodą to sposób wykonywania operacji, który szybko może się przerodzić w długie obliczenia. Czy istnieje sposób na szybsze podzielenie wielomianu przez dwumian $(x-a)$ bez żmudnego procesu? Oszem istnieje i jest nim schemat Hornera.

Czym jest schemat Hornera?

Schemat Hornera (lub metoda Hornera) to algorytm służący do efektywnego obliczania wartości wielomianu oraz do dzielenia wielomianu przez dwumian liniowy. Jest to znacznie szybsza metoda niż bezpośrednie podstawianie wartości do wielomianu.

Przykład wykorzystania schematu Hornera w praktyce

Podziel wielomian $W(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$ przez dwumian $x - 1$.

W celu podzielenia wielomianu Hornerem należy utworzyć tabelkę taką jak na zdjęciu poniżej. W pierwszym rzędzie wpisujemy współczynniki po kolei, które znajdują się przy naszym wielomianie, który chcemy podzielić.

Następnie w drugim rzędzie, po lewej stronie wpisujemy wartość $a$, która jest brana na podstawie dwumianu przez, który dzielimy $(x - a)$.

Zasada dzielenia polega na mnożeniu liczby a przez wartości z 3 rzędu i wpisywaniu ich w kolejnej kolumnie w drugim rzędzie. Następnie sumujemy pierwszy i drugi rząd w danej kolumnie i zapisujemy wartość w trzecim rzędzie. Wyjątkiem jest kolumna pierwsze gdzie wartość natychmiast bez żadnych obliczeń przepisujemy do trzeciego rzędu.

Gdy mamy obliczony cały 3 rząd to dzielenie już można uznać za zakończone. Teraz wystarczy utworzyć wielomian ze stopniem o jeden mniejszy od wielomianu dzielonego, przypisując współczynniki, które odpowiadają trzeciemu rzędowi w tablece tak jak na screenie poniżej.