Własności pierwiastkowania

Pierwiastki, jak wiele innych zagadnień w matematyce, charakteryzują się tym, że mają swoje własności. W tym przypadku mają one istotne znaczenie, gdyż ich zastosowanie pozwala upraszczać wyrażenia mniejszym wysiłkiem. Na tej stronie omówimy takie własności pierwiastków jak:

• kwadrat pierwiastka
• pierwiastkowanie iloczynu i ilorazu
• wyłączenie liczby przed pierwiastek i włączenie pod pierwiastek
• dodawanie i odejmowanie wyrażeń z pierwiastkami

Kwadrat pierwiastka

To własność, która dotyczy zależności między pierwiastkowaniem, a potęgowaniem do kwadratu (czyli podnoszeniem do potęgi drugiej). Mówi ona, że kwadrat pierwiastka kwadratowego z dowolnej nieujemnej liczby jest równy tej samej liczbie.

Matematycznie można to zapisać jako:

$$\left(\sqrt{a}\right)^2 = \sqrt{a^2} = a$$

Pierwiastek z iloczynu i ilorazu

Kolejny z atrybutów charakteryzujących pierwiastki sprawia, że możemy rozbić dzielenie i mnożenie, które jest wykonywane pod pierwiastkiem na dzielenie i mnożenie pierwiastków:

Zasady są prawdziwe dla dwóch operacji, ponieważ, gdy $a ≥ 0$ i $b ≥ 0$ to pierwiastkujemy liczby nieujemne oraz nie dzielimy przez $0$. Dla tej reguły można zapisać następujące wzory:

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$ $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Potęga o wykładniku wymiernym

Potęgę, która ma wykładnik wymierny, można zapisać w formie pierwiastka w następujący sposób:

Jednakże w praktyce, gdy spotykamy się z sytuacją, że potrzebujemy jedną z liczb sprowadzić do pierwiastka lub potęgi, to zazwyczaj wybieramy tę drugą opcję, jaką jest zamiana pierwiastka na potęgę. Wynika to z tego, że na potęgach jest łatwiej wykonywać działania niż na pierwiastkach.

Wyłączanie liczby przed pierwiastek

Wyłączanie liczby przez pierwiastek sprowadza się do zamiany pewnej części liczby obecnej pod pierwiastkiem na czynnik, który wstawia się przed pierwiastek.

Włączanie liczby pod pierwiastek

Włączanie liczby pod pierwiastek to czynność odwrotna do wyłączania czynnika przed pierwiastek. Polega ona na przekształceniu wyrażenia typu $a\sqrt{b}$ na $\sqrt{c}$, gdzie liczba a jest “wchłaniana” przez pierwiastek. W celu osiągnięcia pożądanego rezultatu należy podnieść liczbę $a$ do potęgi równej stopniowi pierwiastka, a następnie pomnożyć ją przez liczbę znajdującą się już pod pierwiastkiem.

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń z pierwiastkami

Operacje takie jak dodawanie czy odejmowanie nie zawsze jest możliwe na pierwiastkach. Jedyną sytuacją, kiedy możemy wykonać wspominane działania to moment, gdy oba pierwiastki mają identyczny czynnik pod pierwiastkiem.

Dodaj $\sqrt{12} + \sqrt{108}$. W celu dodania tych liczb należy wyłączyć czynniki przed pierwiastek:

$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$ $$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$$

Dlatego:

$$\sqrt{12} + \sqrt{108} = 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$