Liczby przestępne

Liczbą przestępną nazywamy liczbę, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernym.

Zazwyczaj ciężko jest wykazać, że dana liczba jest przestępna. Na przykład nie wiadomo czy stała Eulera-Mascheroniego γ, jest przestępna czy algebraiczna.

Właściwości liczb przestępnych

1. Istnieje nieskończenie wiele liczb przestępnych.
2. Zbiór liczb przestępnych jest nieprzeliczalny.
3. Iloczyn oraz suma par liczb, gdzie jedna z liczb to liczba algebraiczna, a druga to liczba, będzie przestępna.

Przykładowe liczby przestępne

1. Liczba $\pi$ (Ferdinand Lindemann udowodnił to w 1882 roku).
2. Liczby, które są potęgą liczby wymiernej, gdzie wykładnikiem jest liczba niewymierna np. $3^{\sqrt{2}}$.
3. Liczba $e$ (Charles Hermite udowodnił to w 1873 roku).
4. $e^{\pi}$ (tzw. stała Gelfonda)