Trójkąty o kątach 90°, 60°, 30° oraz 90°, 45°, 45°

Trójkąt prostokątny 30, 60, 90 stopni

Trójkąt mający kąty 60 stopni i 30 stopni jest trójkątem, który stanowi połowę trójkąta równobocznego. Dzięki swoim dość unikalnym właściwościom jest on szeroko stosowany w matematyce, fizyce czy inżynierii.

Właściwości trójkąta 30,60,90

Omawiany trójkąt ma następujące właściwości:

Kąty

• jeden kąt wynosi 90 stopni (kąt prosty)
• drugi kąt wynosi 60 stopni
• trzeci kąt wynosi 30 stopni

Proporcja boków

W tym trójkącie boki są w stałej proporcji:

$$1 : \sqrt{3} : 2$$

• najkrótszy bok (przeciwległy do kąta 30 stopni) ma długość $a$
• bok dłuższy (przeciwległy do kąta 60 stopni) ma długość $a*\sqrt(3)$
• najdłuższy bok (przeciwprostokątna) ma długość $2a$

Trójkąt prostokątny 30, 60, 90 - trygonometria

$$\sin 60^\circ = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cos 60^\circ = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$$ $$\text{tg } 60^\circ = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{a} = \sqrt{3}$$ $$\text{ctg } 60^\circ = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

---

$$\sin 30° = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$$ $$\cos 30° = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\text{tg } 30° = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\text{ctg } 30° = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{a} = \sqrt{3}$$

W związku z tym powstaje tabla:

${\alpha}$	${30^\circ}$	${60^\circ}$
$\sin \alpha$	$\frac{1}{2}$	${\frac{\sqrt{3}}{2}}$
${\cos \alpha}$	${\frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\frac{1}{2}}$
${\text{tg } \alpha}$	${\frac{\sqrt{3}}{3}}$	${\sqrt{3}}$
${\text{ctg } \alpha}$	${\sqrt{3}}$	${\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Zadania

Trójkąt 45, 45, 90 stopni

Trójkąt mający dwa kąty wynoszące 45 stopni jest trójkątem, który stanowi połowę kwadratu. Można go utworzyć z kwadratu dzieląc kwadrat za pomocą przekątnej.

Właściwości trójkąta 45, 45, 90

Omawiany trójkąt ma następujące właściwości:

Kąty

• Dwa kąty wynoszące 45 stopni
• Jeden kąt 90 stopni

Proporcja boków

W tym trójkącie boki są w stałej proporcji:

$$1 : 1 : \sqrt{2}$$

Przyprostokątne są równej długości $a$. Z kolei przeciwprostokątna ma długość $a \sqrt2$

Zadania