Twierdzenie Bézouta - Niezbędnik w świecie wielomianów

Spis treści:

Twierdzenie Bézouta to kluczowe twierdzenie w algebrze, które dotyczy wielomianów. Polega ono na tym, że wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $(x-a)$ jedynie, gdy liczba $a$ jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Zadania

Sprawdź, czy wielomian $W(x) = 2x^5 - 3x^4 + x^3 - 4x^2 + 5x - 1$ jest podzielny przez $P(x) = x - 1$ .

Z twierdzenia Bézouta wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $(x-1)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W(1) = 0$ .

Obliczamy:

\begin{gather*} W(1) = 2·1^5 - 3·1^4 + 1^3 - 4·1^2 + 5·1 − 1 = 2 − 3 + 1 − 4 + 5 − 1 = 0. \end{gather*}

Ponieważ W(1) = 0, wielomian $W(x)$ jest podzielny przez P(x) = x -1.